Mathe advanced Lernwerkstatt

Komplexe Zahlen

Das „i“ steht für „imaginär“, denn eine Zahl i = √(-1) gibt es gar nicht. Höchstens in unserer Imagination können wir uns vorstellen, dass es sie gäbe. Damit springen wir allerdings aus der „mathematischen Schul-Box“ heraus, denn imaginäre Zahlen werden dort zumeist nicht behandelt. Akzeptieren wir einmal das „i“, dann eröffnet sich uns der neue Raum „Komplexen Zahlen“. Dieser befindet sich am Eingang zur Höheren Mathematik und ist viel größer, als der Raum der „Reelen Zahlen“, in dem wir uns in der Schule bewegen. Die Wirkmacht der komplexen Zahlen ist enorm. Es können damit Gleichungen, wie
x² + 1 = 0, gelöst werden, die keine reele Zahl erfüllt. Aber nicht nur das. Schwingungsvorgänge in der Physik, Elektrotechnik, Biologie und anderen Bereichen werden erst durch die Verwendung der komplexen Zahlen mathematisch beschreibbar. Also zu sagen, ohne das „i“ funktioniert unser Händi nicht, wäre keine Übertreibung.

Das „i“ steht für „imaginär“, denn eine Zahl i = √(-1) gibt es gar nicht. Höchstens in unserer Imagination können wir uns vorstellen, dass es sie gäbe. Damit springen wir allerdings aus der „mathematischen Schul-Box“ heraus, denn imaginäre Zahlen werden dort zumeist nicht behandelt. Akzeptieren wir einmal das „i“, dann eröffnet sich uns der neue Raum „Komplexen Zahlen“. Dieser befindet sich am Eingang zur Höheren Mathematik und ist viel größer, als der Raum der „Reelen Zahlen“, in dem wir uns in der Schule bewegen. Die Wirkmacht der komplexen Zahlen ist enorm. Es können damit Gleichungen, wie x² + 1 = 0, gelöst werden, die keine reele Zahl erfüllt. Aber nicht nur das. Schwingungsvorgänge in der Physik, Elektrotechnik, Biologie und anderen Bereichen werden erst durch die Verwendung der komplexen Zahlen mathematisch beschreibbar. Also zu sagen, ohne das „i“ funktioniert unser Händi nicht, wäre keine Übertreibung.

Auch Fraktale, wie das Mandelbrot’sche Apfelmännchen können nur mit Hilfe der komplexen Zahlenmenge ¢ berechnet werden. Für Lernende erscheinen das Konzept und der Umgang mit den komplexen Zahlen zu Anfang meist gewöhnungsbedürftig bis sperrig. Dies bereitet Studierenden von Fächern, in deren ersten Semestern Mathematikvorlesungen stehen, häufig Kopfzerbrechen. Deshalb werden die komplexen Zahlen und das Rechnen mit ihnen in dieser Lernwerkstatt zunächst behutsam eingeführt. Dann wird an Hand von Beispielen etwas tiefer in ihre faszinierende Welt eingestiegen und ihre große Bedeutung demonstriert. Oberstufenschülerinnen und -schüler bewegen sich hierbei definitiv „out of the box“. Zu Ende dieser Werkstatt werden wir Fraktale, wie die Mandelbrotmenge (wie in der Grafik oben) mit der Computersprache Python berechnen und graphisch darstellen.

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